设{un}，{cn}为正项数列，证明： (1)若对一切正整数n满足cnun－cn+1un+1≤0，且1／cn发散，则un也发散； (2)若对一切正整数n满足cn－cn+1≥a(a＞0)，且1／cn收敛，则cn也收敛．

admin2018-05-21 37

问题设{u_n}，{c_n}为正项数列，证明：
(1)若对一切正整数n满足c_nu_n－c_n+1u_n+1≤0，且

1／c_n发散，则

u_n也发散；
(2)若对一切正整数n满足c_n

－c_n+1≥a(a＞0)，且

1／c_n收敛，则

c_n也收敛．

选项

答案显然[*]c_n为正项级数． (1)因为对所有n满足c_nu_n－c_n+1u_n+1≤0，于是 c_nu_n≤c_n+1u_n+1[*]c_nu_n≥…≥c₁u₁＞0，从而u_n≥c₁u₁．1／c_n．因为[*]1／c_n发散，所以[*]u_n也发散． (2)因为对所有n满足c_n[*]－c_n+1≥a，则c_nu_n－c_n+1u_n+1≥au_n+1，即 c_nu_n≥(c_n+1+a)u_n+1，所以[*]≥u_n+1／u_n， [*]

解析

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考研数学一

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