设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，则φ(χ)是( )．

admin2019-07-28 47

问题设函数f(χ)是连续且单调增加的奇函数，φ(χ)＝∫₀^χ(2u－χ)f(χ－u)du，则φ(χ)是( )．

选项 A、单调增加的奇函数
B、单调减少的奇函数
C、单调增加的偶函数
D、单调减少的偶函数

答案B

解析 φ(χ)＝∫₀^χ(2u－χ)f(χ－u)du
＝2∫₀^χ(χ－u)du－χ∫₀^χf(χ－u)du
＝－2∫₀^χuf(χ－u)d(χ－u)＋χ∫₀^χ(χ－u)d(χ－u)

2∫_χ⁰(χ－t)f(t)dt＋χ∫_χ⁰f(t)dt
＝2∫₀^χ(χ－t)f(t)dt－χ∫₀^χf(t)dt
＝2χ∫₀^χf(t)dt－2∫₀^χtf(t)dt－χ∫₀^χf(t)dt
＝χ∫₀^χf(t)dt－2∫₀^χtf(t)dt
因为φ(－χ)＝－χ∫₀^－χf(t)dt－2∫₀^－χtf(t)dt，

χ∫₀^χf(－u)du－2∫₀^χ(－u)f(－u)d(－u)
＝－χ∫₀^χf(u)du＋2∫₀^χuf(u)du＝－φ(χ)，
所以φ(χ)为奇函数；
又φ′(χ)＝∫₀^χf(t)dt－χf(χ)，
当χ＞0时，φ′(χ)＝∫₀^χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(0≤ξ≤χ)，
当χ≤0时，φ′(χ)＝∫₀^χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(χ≤ξ≤0)，
所以φ(χ)为单调减少的奇函数，选B．

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考研数学二

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