三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22－2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型。

admin2021-11-25 21

问题三元二次型f=X^TAX经过正交变换化为标准形f=y₁²+y₂²－2y₃²,且A^*+2E的非零特征值对应的特征向量为α₁=

,求此二次型。

选项

答案因为f=X^TAX经过正交变换后的标准形为f=y₁²+y₂²－2y₃²，所以矩阵A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=－2 由｜A｜=λ₁λ₂λ₃=－2得A^*的特征值为μ₁=μ₂=－2，μ₃=1 从而A^*+2E的特征值为0,0,3，即α₁为A^*+2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ₃=－2的特征向量。令A的属于特征值λ₁=λ₂=1的特征向量为[*], 因为A为实对称矩阵，所以α₁^Tα=0，即x₁+x₃=0，故矩阵A的属于λ₁=λ₂=1的特征向量为 [*] 令P=(α₂,α₃,α₁)=[*] 由P^-1AP=[*]得 [*]，所求的二次型为 f=X^TAX=－[*]x₁²+x₂²－[*]x₃²－3x₁x₃.

解析

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考研数学二

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三元二次型f=XTAX经过正交变换化为标准形f=y12+y22－2y32,且A*+2E的非零特征值对应的特征向量为α1=,求此二次型。

考研数学二

设,且存在三阶非零矩阵B,使得AB=O，则a=,b=_.

设a1,a2,Β1,Β2为三维列向量组，且a1,a2与Β1，Β1都线性无关。设,求出可由两组向量同时线性表示的向量。

设A为n阶矩阵，若Ak-1a≠0,而Aka=0.证明：向量组a,Aa,...,Ak-1a线性无关。

设a1,a2,...at为AX=0的一个基础解系，Β不是AX=0的解，证明：Β+Βa1，Β+a2，...Β+at线性无关。

设向量组（I)a1,a2,a3；（II)a1,a2,a3,a4；(III）a1,a2,a3,a5,若向量组（I)与向量组（II）的秩为3，而向量组（III）的秩为4.证明：向量组a1,a2,a3,a5-a4的秩为4.

设A为三阶方阵，A的每行元素之和为5，AX=0的通解为,设,求AΒ.

设有三个线性无关的特征向量，求a及An.

设A是三阶矩阵，a1,a2,a3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aa1=a2+a3，Aa2=a1+a3,Aa3=a1+a2.求矩阵A的特征值。

设A为n阶非奇异矩阵，a是n维列向量，b为常数，.证明PQ可逆的充分必要条件是aTA-1a≠b.

历史上第一次由政府正式派代表讨论劳工问题的会议是()

下列化合物中，可用来合成缩聚物的是()。

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设X=’’123’’，y=123，k=’’Y’’，表达式x+＆k的值是

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ASocioculturalApproachtoReading,LanguageandLiteracyI.ThemeaningoftakingasocioculturalapproachA.Itrejectsthe【

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设向量组（I)a1,a2,a3；（II)a1,a2,a3,a4；(III）a1,a2,a3,a5,若向量组（I)与向量组（II）的秩为3，而向量组（III）的秩为4.证明：向量组a1,a2,a3,a5-a4的秩为4.

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