已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3—2A2，则r（B）=（）

admin2019-07-12 51

问题已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A³—2A²，则r（B）=（）

选项 A、1
B、2
C、3
D、不能确定

答案A

解析因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得
P^—1AP=Λ=

于是
P^—1BP=P^—1（A³—2A²）P=P^—1A³P—2P^—1A²P=（P^—1AP）³—2 （P^—1AP）²

则矩阵B的三个特征值分别为0，0，—1，故r（B）=1。所以选A。

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