2. 考研
  3. 设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+dxdy，试求f(t)．

设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+dxdy，试求f(t)．

admin2016-10-26  34
问题 设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=e4πt2+dxdy，试求f(t)．
选项
答案先用极坐标变换将二重积分转化为定积分 [*] 代入原方程得 f(t)=e4πt2+2π[*]rdr (t≥0)． 两边对t求导得 f′(t)=8πte4πt2+2π.f(t).2t.2，即 f′(t)一8πtf(t)=8πte4πt2． ① 在前一个方程中令t=0得 f(0)=1． ② 求f(t)转化为求解初值问题①+②．这是一阶线性方程，两边乘e－∫8πtdt=e－4πt2得 [e－4πt2f(t)]′=8πt． 积分得 e－4πt2f(t)=4πt2+C． 由f(0)=1得C=1．因此f(t)=(4πt2+1)e4πt2．
解析
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考研数学一

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