2. 考研
  3. 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1． 讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且 β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1． 讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．

admin2018-09-25  35
问题 设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且
    β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs－1=αs－1+αs，βs=αs+α1．
讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
选项
答案方法一 设x1β1+x2β2+…+xsβs=0，即 (x1+xs)α1+(x1+x2)α2+…+(xs－1+xs)αs=0． 因为α1，α2，…，αs线性无关，则 [*] 其系数行列式 [*] 当s为奇数时，｜A｜=2≠0，方程组只有零解，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； 当s为偶数时，｜A｜=0，方程组有非零解，则向量组β1，β2，…，βs线性相关． 方法二 显然 [β1，β2，…，βs]=[α1，α2，…，αs] [*] =[α1，α2，…，αs]Ks×s， 因为α1，α2，…，αs线性无关，则 r(β1，β2，…，βs)≤min{r(α1，α2，…，αs)，r(K)}=r(K)． r(K)=s<=>｜K｜=1+(－1)s+1≠0=>当s为奇数时，两向量组等价，r(β1，β2，…，βs)=s，则向量组β1，β2，…，βs线性无关； r(K)<=>｜K｜=1+(－1)s+1=0=>当s为偶数时，r(β1，β2，…，βs)＜s，则向量组β1，β2，…，βs线性相关．
解析
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考研数学一

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