[2015年] n阶行列式=______.

admin2019-04-08 32

问题 [2015年] n阶行列式

=______.

选项

答案2ⁿ⁺¹-2

解析按第1行展开得到递推关系式：

=2D_n-1+2(一1)ⁿ⁺¹(一1)^n-1=2D_n-1+2．
依此递推，得到
D_n=2D_n-1+2=2(2D_n-2+2)+2=2²D_n-2+2²+2
=2²(2D_n-3+2)+2²+2=2³D_n-3+2³+2²+2
=…=2^n-1D₁+2^n-1+2^n-2+…+2²+2=2^n-1·2+2^n-1+2^n-2+…+2²+2
=2ⁿ+2^n-1+2^n-2+…+2²+2=2(1+2+2²+…+2^n-1)．
由等比级数求和的公式a₁+a₁q+a₁q²+…+a₁q^n-1=

，令a₁=2，q=2，得到
D_n=2(1+2+2²+…+2^n-1)=

=(一1)(2—2ⁿ⁺¹)=2ⁿ⁺¹-2．[img][/img]

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