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  3. 设n维向量α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，证明β可以由α1，α2，…，αs线性表出．且表示方法唯一．

设n维向量α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，证明β可以由α1，α2，…，αs线性表出．且表示方法唯一．

admin2018-06-12  42
问题 设n维向量α1，α2，…，αs线性无关，而α1，α2，…，αs，β线性相关，证明β可以由α1，α2，…，αs线性表出．且表示方法唯一．
选项
答案因为α1，α2，…，αs，β线性相关，故存在不全为0的k1，k2，…，ks，k使得 k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＋kβ＝0， 那么必有k≠0(否则k1，k2，…，ks不全为0，而k1α1＋k2α2＋…＋ksαs＝0，这与α1，α2，…，αs线性无关相矛盾)．从而β＝－[*](k1α1＋k2α2＋…＋ksαs)，即β可以由α1，α2，…，αs线性表出． 如果β有两种表示方法，设为 β＝χ1α1＋χ2α2＋…＋χsαs及β＝y1α1＋y2α2＋…＋ysαs， 那么(χ1－y1)α1＋(χ2－y2)α2＋…＋(χs－ys)αs＝0． 因为χ1－y1，χ2－y2，…，χs－ys不全为0，从而α1，α2，…，αs线性相关，与已知矛盾．故β的表示法唯一．
解析
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考研数学一

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