2. 考研
  3. (2014年)设函数f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且f(χ)单调增加，0≤g(χ)≤1．证明： (Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ－a)，χ∈[a，b] (Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)dχ．

(2014年)设函数f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且f(χ)单调增加，0≤g(χ)≤1．证明： (Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ－a)，χ∈[a，b] (Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)dχ．

admin2016-05-30  53
问题 (2014年)设函数f(χ)，g(χ)在区间[a，b]上连续，且f(χ)单调增加，0≤g(χ)≤1．证明：
    (Ⅰ)0≤∫aχg(t)dt≤(χ－a)，χ∈[a，b]
    (Ⅱ)f(χ)dχ≤∫abf(χ)dχ．
选项
答案(Ⅰ)由0≤g(∮χ)≤1得 0≤∫0χg(t)dt≤∫0χ1dt＝(χ－a) χ∈[a，b] (Ⅱ)令F(u)＝∫auf(χ)g(χ)－[*]f(χ)dχ 只要证明F(b)≥0，显然F(a)＝0，只要证明F(u)单调增，又 F′(u)＝f(u)g(u)－f(a＋∫aug(t)dt)g(u) ＝g(u)[f(u)－f(a＋∫aug(t)dt)] 由(Ⅰ)的结论0≤∫aχg(t)dt≤(χ－a)知，a≤a＋∫aχg(t)dt≤χ，即 a≤a＋∫aug(t)dt≤u 又f(χ)单调增加，则f(u)≥f(a＋∫aug(t)dt)，因此，F′(u)≥0，F(b)≥0． 故[*]f(χ)dχ≤∫abf(χ)g(χ)dχ．
解析
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考研数学二

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