某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V／6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3．已知2004年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标，为了治理污染，从2005年起，限定排入湖中含A污水的浓度不超过m0／V．问至多经历多

admin2022-07-21 39

问题某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V／6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3．已知2004年底湖中A的含量为5m₀，超过国家规定指标，为了治理污染，从2005年起，限定排入湖中含A污水的浓度不超过m₀／V．问至多经历多少年，湖泊中污染物A的含量降至m₀以内(设湖水中A的浓度是均匀的)?

选项

答案设从2005年初(含此时t=0)开始，第t年湖泊中污染物A的总量为m，浓度为m／V，则在时间间隔t到t+dt内，排入湖泊中A的量为[*]，流出湖泊的A的量为[*] 因此，在此时间间隔内流出湖泊的A的改变量为dm=[*]dt，积分得m=[*]-ce^-t/3．代入初始条件m｜_t=0=5m₀，解出c=-9m₀／2，于是污染物总量的变化规律为 [*] 令m=m₀，得t=6ln3，即至多经过t=6ln3年，A的含量降至m₀以内．

解析

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考研数学三

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考研数学三

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设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x-3e2x为特解，求该微分方程．

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设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x-3e2x为特解，求该微分方程．

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设N阶矩阵A=(α1，α2，…，αn)的前n一1个列向量线性相关，后n一1个列向量线性无关，且α1+α2+…+(n—1)αn—1=0，b=α1+α2+…+αn．(1)证明方程组AX=b有无穷多个解；(2)求方程组AX=b的通解．

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