2. 考研
  3. 设某钢厂出售甲、乙两种钢材，当这两种钢材的销量分别为x和Y时，其总收益与总成本的差值函数为F(x，y)＝－x2－4y2－2xy＋15x＋34y－36(单位：千元)。此外，出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元，出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。

设某钢厂出售甲、乙两种钢材，当这两种钢材的销量分别为x和Y时，其总收益与总成本的差值函数为F(x，y)＝－x2－4y2－2xy＋15x＋34y－36(单位：千元)。此外，出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元，出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。

admin2020-04-09  8
问题 设某钢厂出售甲、乙两种钢材，当这两种钢材的销量分别为x和Y时，其总收益与总成本的差值函数为F(x，y)＝－x2－4y2－2xy＋15x＋34y－36(单位：千元)。此外，出售1吨甲钢材还需要支付运输费1千元，出售1吨乙钢材还需要支付运输费2千元。
    (Ⅰ)在不限制运输费用支出的情况下，这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
    (Ⅱ)当在运输费用不得超过6千元的条件下，这两种钢材的销量各为多少时总利润最大?最大利润是多少?
选项
答案(Ⅰ)设甲、乙两种钢材销量分别为x和y，则总利润函数为L(x，y)，则 L(x，y)＝F(x，y)－x－2y＝14x＋32y－x2－2xy－4y2－36。 令[*] 解得x＝4，y＝3。 因为必存在最大利润，故在不限制运输费用的情况下，当甲、乙两种钢材的销量分别 为x＝4，y＝3时，总利润最大，且最大利润为40千元。 (Ⅱ)求总利润函数L(x，y)在约束条件x＋2y＝6下的最大值，构造拉格朗日函数 F(x，y，λ)＝L(x，y)＋λ(x＋2y－6)， 并求F(x，y，λ)的驻点，令 [*] 解得x＝2，y＝2。 因此当运输费用不超过6千元的情况下，两种钢材的销量均为2吨时总利润最大，最大利润为28千元。
解析 本题考查二元函数的极值和条件极值。很显然第一问就是简单的求解最值问题，且该题为实际问题，所以驻点即为所求的最大值点；第二问是在一定的约束条件下的条件极值问题，需要利用拉格朗日乘数法进行求解。
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考研数学三

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