2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，α1,α2,α3都是3维非零列向量，满足Aαi=iαi，(i=1，2，3)．记α=α1+α2+α3. ① 证明α，Aα，A2α线性无关． ② 设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

设A是3阶矩阵，α1,α2,α3都是3维非零列向量，满足Aαi=iαi，(i=1，2，3)．记α=α1+α2+α3. ① 证明α，Aα，A2α线性无关． ② 设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．

admin2020-06-11  36
问题 设A是3阶矩阵，α1,α2,α3都是3维非零列向量，满足Aαi=iαi，(i=1，2，3)．记α=α1+α2+α3.
①  证明α，Aα，A2α线性无关．
②  设P=(α，Aα，A2α)，求P-1AP．
选项
答案条件说明α1,α2,α3都是A的特征向量，特征值依次为1，2，3，因此α1,α2,α3线性无关． ① α=α1+α2+α3，Aα=α1+2α2+3α3，A2α=α1+4α2+9α3，用矩阵分解，矩阵P=(α，Aα，A2α)=(α1+α2+α3，α1+2α2+3α3，α1+4α2+9α3)[*][*]的行列式为2，因此是可逆矩阵．于是r(α，Aα，A2α)=r(P)=r(α1,α2,α3)=3，α，Aα，A2α线性无关．② 记P一1AP=B，则AP=PB，即(Aα，A2α，A3α)=(α，Aα，A2α)B．于是B是向量组Aα，A2α，A3α对α，Aα，A2α的表示矩阵．显然其第1，2两列分别为(0，1，0)T和(0，0，1)T．第3列是A3α对α，A3α，A2α的表示系数，设为c1，c2，c3，则P(c1，c2，c3)T=A3α， 注意A3α=α1+8α2+27α3，于是[*] 因为(α1,α2,α3)是可逆矩阵，所以有[*]用初等变换法求得c1=6，c2=一1 1，c3=6，于是[*]
解析
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考研数学二

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