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过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D.求: (I)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线X=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
过坐标原点作曲线y=ex的切线,该切线与曲线y=ex以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D.求: (I)D的面积A; (Ⅱ)D绕直线X=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
admin
2018-12-21
41
问题
过坐标原点作曲线y=e
x
的切线,该切线与曲线y=e
x
以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D.求:
(I)D的面积A;
(Ⅱ)D绕直线X=1旋转一周所成的旋转体的体积V.
选项
答案
如图所示,设切点坐标为P(x
0
,y
0
),于是曲线y=e
x
在点P的切线斜率为y
’
(x
0
)=e
x
0
,切线方程为y-y
0
=e
x
0
(x-x
0
).它经过点(0,0),所以-y
0
=-x
0
e
x
0
.又因y
0
=e
x
0
,代入求得x
0
=1,从而y
0
=e
x
0
=e,切线方程为y=ex. [*] (I)取水平条面积元素,则D的面积[*] (积分∫
0
e
ln ydy为反常积分,根据洛必达法则得到[*]yln y=0). (Ⅱ)D绕直线x=1旋转一周所成的旋转体的体积微元为 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/nAWRFFFM
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考研数学二
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