(1993年)设χ＞0，常数a＞e，证明：(a＋χ)a＜aa＋χ

admin2016-05-30 31

问题 (1993年)设χ＞0，常数a＞e，证明：(a＋χ)^a＜a^a＋χ

选项

答案由于y＝lnχ为单调增函数，所以欲证(a＋χ)^a＜a^a＋χ，只需证aln(a＋χ)＜(a＋χ)lna．令f(χ)＝(a＋χ)lna－aln(a＋χ) f′(χ)＝lna－[*]，由于a＞e，则lna＞1，又χ＞0，则[*]＜1故f′(χ)＞0，所以函数f(χ)在[0，＋∞)上单调增加，而f(0)＝0所以f(χ)＞0(0＜χ＜＋∞) 即aln(a＋χ)＜(a＋χ)lna， (a＋χ)^a＜a^a＋χ

解析

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考研数学二

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设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f′(0)=f(1)=f′(1)=0.证明：方程f″(x)-f(x)=0在(0，1)内有根.
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