2. 考研
  3. 设幂级数anxn在(一∞，+∞)内收敛，其和函数s(x)满足 s"一2xs’一4s=0，s(0)=0，s’(0)=1。 (Ⅰ)证明：an+2=an，n=1，2，…； (Ⅱ)求s(x)的表达式。

设幂级数anxn在(一∞，+∞)内收敛，其和函数s(x)满足 s"一2xs’一4s=0，s(0)=0，s’(0)=1。 (Ⅰ)证明：an+2=an，n=1，2，…； (Ⅱ)求s(x)的表达式。

admin2018-05-25  29
问题 设幂级数anxn在(一∞，+∞)内收敛，其和函数s(x)满足
    s"一2xs’一4s=0，s(0)=0，s’(0)=1。
(Ⅰ)证明：an+2=an，n=1，2，…；
(Ⅱ)求s(x)的表达式。
选项
答案(Ⅰ)对幂级数的和函数s(x)=[*]∑anxn求一、二阶导数，得 s’=[*]n(n一1)anxn—2， 分别将其代入已知方程，整理得 [*](n+1)(n+2)anxn一[*]4anxn=0， 即(2a2—4a0)x0+[*][(n+1)(n+2)an+2一2nan一4an]xn=0。 由于上式对任意的x均成立，则有2a2—4a0=0及(n+1)(n+2)an+2一2(n+2)an=0， 于是得 an+2=[*]an，n=1，2，…。 (Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论an+2=[*]an，n=0，1，2，…，且根据题中条件有 a0=s(0)=0．a1=s’(0)=1。 [*]
解析
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考研数学一

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