设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.

admin2018-11-11  44

问题 设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r(B)=n.

选项

答案必要性:设BTAB为正定矩阵,则由定义知,对任意的n维实列向量x≠0,有xT(BTAB)x>0,即(Bx)TA(Bx)>0.于是,Bx≠0.因此,Bx=0只有零解,故有r(B)=n.充分性:因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB,故BTAB为实对称矩阵.若r(B)=n,则线性方程组Bx=0只有零解,从而对任意的n维实列向量x≠0,有Bx≠0.又A为正定矩阵,所以对于Bx≠0,有(Bx)TA(Bx)>0.于是当x≠0,有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)>0,故BTAB为正定矩阵.

解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/mnWRFFFM
0

随机试题
最新回复(0)