证明:若f,g均为区间I上凸函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸函数.

admin2022-11-23  25

问题 证明:若f,g均为区间I上凸函数,则F(x)=max{f(x),g(x)}也是I上凸函数.

选项

答案∵f,g均为区间I上的凸函数,∴对任意的x1,x2∈I及λ∈(0,1).总有 f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2), ① g(λx1+(1-λ)x2)≤λg(x1)+(1-λ)g(x2), ② 由于F(x)=max{f(x),g(x)},因而 f(x1)≤F(x1),(x2)≤F(x2),g(x1)≤F(x1),g(x2)≤F(x2), 于是 λf(x1)+(1-λ)f(x2)≤λF(x1)f(1-λ)F(x2). ③ λg(x1)+(1-λ)g(x2)≤λF(x1)f(1-λ)F(x2). ④ 由式①~式④得 max{f(λx1+(1-λ)x2).g(λx1+(1-λ)x2)}≤λF(x1)+(1-λ)F(x2), 即F(λx1+(1-λ)x2)≤λF(x1)+(1-λ)F(x2),故F(x)是I上的凸函数

解析
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