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设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:.
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:.
admin
2018-01-23
22
问题
设f(x)在[0,1]上连续且单调减少,且f(x)>0.证明:
.
选项
答案
[*]等价于∫
0
1
f
2
(x)dx∫
0
1
xf(x)dx≥∫
0
1
f(x)dx∫
0
1
xf
2
(x)dx, 等价于∫
0
1
f
2
(x)dx∫
0
1
yf(y)dy≥∫
0
1
f(x)dx∫
0
1
yf
2
(y)dy,或者 ∫
0
1
dx∫
0
1
yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy≥0 令I=∫
0
1
dx∫
0
1
yf(x)f(y)[f(x)-f(y)]dy, 根据对称性,I=∫
0
1
dx∫
0
1
xf(x)f(y)[f(y)-f(x)]dy, 2I=∫
0
1
dx∫
0
1
f(x)f(y)(y-x)[f(x)-f(y)]dy, 因为f(x)>0且单调减少,所以(y-x)[f(x)-f(y)]≥0,于是2I≥0,或I≥0,
解析
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0
考研数学三
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