(1999年)设函数y(χ)(χ≥0)二阶可导,且y′(χ)>0,y(0)=1.过曲线y=y(χ)上任意一点P(χ,y)作该曲线的切线及χ轴的垂线,上述两直线与χ轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,χ]上以y=f(χ)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并

admin2016-05-30  36

问题 (1999年)设函数y(χ)(χ≥0)二阶可导,且y′(χ)>0,y(0)=1.过曲线y=y(χ)上任意一点P(χ,y)作该曲线的切线及χ轴的垂线,上述两直线与χ轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,χ]上以y=f(χ)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1-S2恒为1,求此曲线y=y(χ)的方程.

选项

答案曲线y=y(χ)上点P(χ,y)处切线方程为 y-y=y′(χ)(X-χ) 它与χ轴的交点为(χ-[*],0),由于y′(χ)>0,y(0)=1,从而y(χ)>0,于是 [*] 又S=∫0χy(t)dt 由条件2S1=S2=1知 [*] 两边对χ求导并化简得 yy〞=(y′)2 令y′=P,则上述方程化为 [*] 解得P=C1y [*] 注意到y(0)=1,由(*)式可知y′(0)=1,由此可得C1=1,C2=0,故所求曲线方程为 y=eχ

解析
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