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  3. 下述命题： ①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(－∞，+∞)上连续； ②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(－∞，+∞)上有界； ③设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的连续函

下述命题： ①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(－∞，+∞)上连续； ②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(－∞，+∞)上有界； ③设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的连续函

admin2021-10-08  6
问题 下述命题：
①设f(x)在任意的闭区间[a，b]上连续，则f(x)在(－∞，+∞)上连续；
②设f(x)在任意的闭区间[a，b]上有界，则f(x)在(－∞，+∞)上有界；
③设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的连续函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的连续函数；
④设f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，则在(－∞，+∞)上也是正值的有界函数．
其中正确的个数为    (    )
选项 A、1
B、2
C、3
D、4
答案B
解析 ①与③是正确的，②与④是不正确的，理由如下：
    ①是正确的．设x0∈(－∞，+∞)，则它必含于某区间[a，b]中，由于题设f(x)在任意闭区间[a，b]上连续，故在x0处连续，所以在(－∞，+∞)上连续．论证的关键之处是函数f(x)的连续性是按点来讨论的，在区间上每一点处连续，就说它在该区间上连续．
    ③是正确的．设x0∈(－∞，+∞)，则f(x0)＞0，且在x0处连续．由连续函数的四则运算法则知，在x0处也连续，所以且在(－∞，+∞)上连续．
    ②是不正确的．反例：设f(x)=x，在区间[a，b]上｜f(x)｜≤max{｜a｜，｜6｜}M，这个界与[a，6]有关，容易看出，在区间(－∞，+∞)上f(x)=x就无界了．
    ④是不正确的．反例：f(x)=e－x2，在区间(－∞，+∞)上0＜f(x)≤1．所以f(x)在(－∞，+∞)上为正值的有界函数，而=ex2在(－∞，+∞)上无界，这是因为当x→±∞时，+∞．故应选B．
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