2. 考研
  3. (2003年)设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)， 且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。 (I)求F(x)所满足的一阶微分方程； (Ⅱ)求出F

(2003年)设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件： f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)， 且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。 (I)求F(x)所满足的一阶微分方程； (Ⅱ)求出F

admin2018-04-17  35
问题 (2003年)设F(x)=f(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(一∞，+∞)内满足以下条件：
    f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)，
且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex。
(I)求F(x)所满足的一阶微分方程；
(Ⅱ)求出F(x)的表达式。
选项
答案(I)由于 F’(x)=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) =g2(x)+f2(x) =[f(x)+g(x)]2一2f(x)g(x) =(2ex)2一2F(x)， 所以F(x)所满足的一阶微分方程为F’(x)+2F(x)=4e2x。 (Ⅱ) F(x)=e-∫2dx[∫4e2x.e∫2dxdx+C] =e-2x.[∫4e2xdx+C] =e2x+Ce-2x。 将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得C=一1。于是F(x)=e2x一e-2x。
解析
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考研数学三

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