设矩阵的特征值有一个二重根,求a的值,并讨论矩阵A是否可相似对角化。

admin2018-12-19  29

问题 设矩阵的特征值有一个二重根,求a的值,并讨论矩阵A是否可相似对角化。

选项

答案矩阵A的特征多项式为 |λE—A|=[*]=(λ一2)(λ2一8λ+18+3a)。 如果λ=2是单根,则λ2一8λ+18+3a是完全平方,必有18+3a=16,即a=[*]。则A的 特征值是2,4,4,而r(4E一A)=2,故λ=4只有一个线性无关的特征向量,从而A不能相似对角化。 如果λ=2是二重特征值,则将λ=2代入λ2一8λ+18+3A=0可得A=一2。于是λ2一8λ+18+3A=(λ一2)(λ一6)。则矩阵A的特征值是2,2,6,而r(2E—A)=1,故λ=2有两个线性无关的特征向量,从而A可以相似对角化。

解析
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