设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。

admin2018-01-26 30

问题设向量组(Ⅰ)可以由向量组(Ⅱ)线性表示，且R(Ⅰ)=R(Ⅱ)，证明：向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。

选项

答案设R(Ⅰ)=R(Ⅱ)=r，且α₁，α₂，…，α_r与β₁，β₂，…，β_r分别为向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)的极大线性无关组。由于向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，故α₁，α₂，…，α_r可以由β₁，β₂，…，β_r线性表示。因此， R(α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r)=R(β₁，β₂，…，β_r)=r。又α₁，α₂，…，α_r线性无关，所以α₁，α₂，…，α_r是向量组α₁，α₂，…，α_r，β₁，β₂，…，β_r的极大线性无关组，从而β₁，β₂，…，β_r可以由α₁，α₂，…，α_r线性表示，于是向量组(Ⅱ)可以由α₁，α₂，…，α_r线性表示，所以向量组(Ⅱ)可以由(Ⅰ)线性表示。又已知向量组(Ⅰ)可以由(Ⅱ)线性表示，所以向量组(Ⅰ)与(Ⅱ)等价。

解析

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考研数学一

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