已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

admin2015-08-17 31

问题已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AA^T是对称阵，并且AA^T正定的充要条件是r(A)=m．

选项

答案由(AA^T)^T=(A^T)^TA^T=AA^T，所以AA^T是对称阵．必要性若AA^T正定，r(AA^T)=m≤r(A)，又r(A_m×n)≤m，故r(A)=m．充分性若r(A)=m，则齐次方程组A^TX=0只有零解，故对任意X≠0，均有A^TX≠0，故X^TAA^TX=(A^TX)^T(A^TX)＞0，即AA^T正定．

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/GgPRFFFM

考研数学一

相关试题推荐

设D：x2+y2≤16，则等于()．
设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3，(b＞0)其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12．(1)求a，b．(2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(x))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．
设A，B为n阶矩阵．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．
设(X，Y)服从G={(x，y)|1>y>x>0}上的均匀分布(图3-6)，求：X和Y的边缘密度函数.
设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n．
一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．
设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量。若A2α+Aα－6α=0,求A的特征值，讨论A可否对角化。
设z=z(x，y)是由f(y－x，yz)=0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求
已知A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆阵，则(A-1+B-1)-1等于()

随机试题

新鲜肉芽组织的表现有（）
收入型基金主要投资于可能带来现金收入的有价证券，以获取当期的最大收入为目的。()
企业发生的下列支出中，在计算企业所得税应纳税所得额时准予扣除的有()。
1900年，老龙头入海石城和澄海楼毁于八国联军之手，今天看到的老龙头是1985年修复的。()
最近最经常上演的15部歌剧中没有19世纪德国作曲家理查德.瓦格纳的作品。虽然音乐制作人都希望制作听众想听的作品，但瓦格纳的作品没有被相对频繁地演出并不能表明他的作品不受欢迎，而是因为他的歌剧的舞台演出费用极其昂贵。下面哪项，如果正确，最能支持上面的结论?(
某年的3月份共有5个星期三，并且第一天不是星期一，最后一天不是星期五，则该年的3月15日是()。
数据结构中,与所使用的计算机无关的是数据的
Whatisthereportmainlyabout?
Personswhoareoverweightshouldwatchtheirdietcarefullyinordertolosepounds.Thebestwaytodothisistostartaweig
Overthelasttwoyears,inthePCbusinessMichaelDellhasbeenbeatenlikearentedmule.Hiscompanycontinuestolosemarke

最新回复(0)

已知A是m×n矩阵，m＜n．证明：AAT是对称阵，并且AAT正定的充要条件是r(A)=m．

考研数学一

设D：x2+y2≤16，则等于()．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX=ax12+2x22－2x32+2bx1x3，(b＞0)其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12．(1)求a，b．(2)用正交变换化f(x1，x2，x3)为标准型．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(x))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．

设A，B为n阶矩阵．(1)是否有AB～BA；(2)若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．

设(X，Y)服从G={(x，y)|1>y>x>0}上的均匀分布(图3-6)，求：X和Y的边缘密度函数.

设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明r(AB)≥r(A)+r(B)-n．

一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量。若A2α+Aα－6α=0,求A的特征值，讨论A可否对角化。

设z=z(x，y)是由f(y－x，yz)=0确定的，其中f对各个变量有连续的二阶偏导数，求

已知A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆阵，则(A-1+B-1)-1等于()

新鲜肉芽组织的表现有（）

收入型基金主要投资于可能带来现金收入的有价证券，以获取当期的最大收入为目的。()

企业发生的下列支出中，在计算企业所得税应纳税所得额时准予扣除的有()。

1900年，老龙头入海石城和澄海楼毁于八国联军之手，今天看到的老龙头是1985年修复的。()

某年的3月份共有5个星期三，并且第一天不是星期一，最后一天不是星期五，则该年的3月15日是()。

数据结构中,与所使用的计算机无关的是数据的

Whatisthereportmainlyabout?

Personswhoareoverweightshouldwatchtheirdietcarefullyinordertolosepounds.Thebestwaytodothisistostartaweig

Overthelasttwoyears,inthePCbusinessMichaelDellhasbeenbeatenlikearentedmule.Hiscompanycontinuestolosemarke