设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2017-12-29 29

问题设二次型f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）²，
记

（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T；
（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案（Ⅰ）f（x₁，x₂，x₃）=2（a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃）²+（b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃）² =2（x₁，x₂，x₃）[*]（a₁，a₂，a₃）[*]+（x₁，x₂，x₃）[*]（b₁，b₂，b₃）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T）[*]+（x₁，x₂，x₃）（ββ^T）[*] =（x₁，x₂，x₃）（2αα^T+ββ^T）[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα^T+ββ^T。（Ⅱ）设A=2αα^T+ββ^T，由于|α|=1，α^Tβ=β^Tα=O，则 Aα=（2αα^T+ββ^T）α=2α|α|²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=（2αα^T+ββ^T）β=2αα^Tβ+β|β|²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r（A）=r（2αα^T+ββ^T）≤r（2αα^T）+r（ββ^T）=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

解析

转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/kOKRFFFM

考研数学三

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学三

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．

求

假设G=((x，y)|x2+y2≤r2}是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在圆G上的均匀分布。试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．

设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为．

求方程=(1一y2)tanx的通解以及满足y(0)=2的特解．

微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=________．

设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n一1，则线性方程组AX=0的通解是________．

微分方程y"一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n一中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=二次型g(x)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由。

生产者：食物链：生物学

设f’(cosx)=sinx，则f(cosx)=()

有关粗出生率的表述中不正确的是

构成人体的基本物质是

矩阵组织结构的特点包括()。

故意骗取、盗用财产或违反监管规章、法律或公司政策导致的事件是()。

反映邮政通信服务水平的因素包括服务网点以及()。[2008年真题]

A、 B、 C、 C所给出的问题是一个要在mall和online中选一个的选择疑问句。因此以mall作为回答的选项(C)显然是正确答案。注意不要混淆了提问句中的online和选项(A)中的inline，另外还要注意问句

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2， 记 （Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； （Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学三

已知三元二次型XTAX经正交变换化为2y12一y22一y32，又知矩阵B满足矩阵方程其中α=[1，1，一1]T，A*为A的伴随矩阵，求此二次型XTBX的表达式．

求

假设G=((x，y)|x2+y2≤r2}是以原点为圆心，半径为r的圆形区域，而随机变量X和Y的联合分布是在圆G上的均匀分布。试确定随机变量X和Y的独立性和相关性．

设A是n阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数a．证明：(1)a≠0；(2)A-1的每行元素之和均为．

求方程=(1一y2)tanx的通解以及满足y(0)=2的特解．

微分方程y’+ytanx=cosx的通解为y=________．

设A是m×n矩阵，证明：存在非零的n×s矩阵B，使得AB=O的充要条件是r(A)＜n．

已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r(A)=n一1，则线性方程组AX=0的通解是________．

微分方程y"一6y’+8y=ex+e2x的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n一中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=二次型g(x)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由。

生产者：食物链：生物学

设f’(cosx)=sinx，则f(cosx)=()

有关粗出生率的表述中不正确的是

构成人体的基本物质是

矩阵组织结构的特点包括()。

故意骗取、盗用财产或违反监管规章、法律或公司政策导致的事件是()。

反映邮政通信服务水平的因素包括服务网点以及()。[2008年真题]

A、 B、 C、 C所给出的问题是一个要在mall和online中选一个的选择疑问句。因此以mall作为回答的选项(C)显然是正确答案。注意不要混淆了提问句中的online和选项(A)中的inline，另外还要注意问句

设二次型f（x1，x2，x3）=2（a1x1+a2x2+a3x3）2+（b1x1+b2x2+b3x3）2，记（Ⅰ）证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；（Ⅱ）若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。