计算I＝，其中： (Ⅰ)∑为球面z＝(a＞0)的上侧； (Ⅱ)∑为椭球面＝1(z≥0)的上侧。

admin2017-11-30 22

问题计算I＝

，其中：
(Ⅰ)∑为球面z＝

(a＞0)的上侧；
(Ⅱ)∑为椭球面

＝1(z≥0)的上侧。

选项

答案(Ⅰ)积分曲面∑为球面，将z＝[*](a＞0)代入，有 [*] 曲面∑的法向量为(χ，y，z)，故有 [*] 整理可得dydz＝[*]dχdy，dzdχ＝[*]dχdy，故[*] 其中D_χy＝{(χ，y)｜χ²＋y²≤a²}为球面∑在χoy面的投影，由于曲面方向取上侧，故 [*] (Ⅱ)为了避免积分区域包含原点，在(0，0．0)附近取球面∑₁：z＝[*]，其中半径a为足够小的正数，方向取内侧，在该球面以外的区域取平面乏∑₂＝0，[*]≤1，方向向下。 [*] 其中。第一个曲面积分采用高斯公式，题中所给方向为正向，记Ω为封闭曲面∑＋∑₁＋∑₂所围区域， [*] 由(Ⅰ)中结论，可知 [*]

解析

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考研数学一

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计算I＝，其中： (Ⅰ)∑为球面z＝(a＞0)的上侧； (Ⅱ)∑为椭球面＝1(z≥0)的上侧。

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