2. 考研
  3. 设f(x)满足f”(x)+2f’(x)+f(x)=0，且 f(0)=1，f’(0)=0，an=∫n+∞f(x)dx． 求f(x)及an；

设f(x)满足f”(x)+2f’(x)+f(x)=0，且 f(0)=1，f’(0)=0，an=∫n+∞f(x)dx． 求f(x)及an；

admin2023-01-04  9
问题 设f(x)满足f”(x)+2f’(x)+f(x)=0，且
    f(0)=1，f’(0)=0，an=∫n+∞f(x)dx．
求f(x)及an；
选项
答案已知方程的特征方程为r2+2r+1=0，得特征根为r1=r2=-1，故通解为 f(x)=C1e-x+C2xe-x． 由f(0)=1，f’(0)=0，得C1=C2=1．所以 f(x)=e-x+xe-x=(1+x)e-x． an=∫n+∞f(x)dx=∫n+∞(1+x)e-xdx=-∫n+∞(1+x)de-x=-[(1+x)e-x｜n+∞-∫n+∞e-xdx] =(1+n)e-n+e-n=ne-n+2e-n．
解析
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考研数学一

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