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  3. 求下列方程的通解： (Ⅰ)y′＝[sin(lnχ)＋cos(lnχ)＋a]y； (Ⅱ)χy′＝＋y．

求下列方程的通解： (Ⅰ)y′＝[sin(lnχ)＋cos(lnχ)＋a]y； (Ⅱ)χy′＝＋y．

admin2018-08-12  29
问题 求下列方程的通解：
    (Ⅰ)y′＝[sin(lnχ)＋cos(lnχ)＋a]y；
    (Ⅱ)χy′＝＋y．
选项
答案(Ⅰ)属变量可分离的方程．分离变量改写为 [*]＝(sinlnχ＋coslnχ＋a)dχ． 两端求积分，由于∫sin(lnχ)dχ＝χsin(lnχ)－∫χ.cos(lnχ).[*]dχ＝χsin(lnχ)－∫cos(lnχ)dχ， 所以通解为ln｜y｜＝χsin(lnχ)＋aχ＋C1，或y＝Ceχsinχ(lnχ)＋aχ，其中C为任意常数． (Ⅱ)属齐次方程．令y＝χu，并且当χ＞0时，原方程可化为 [*] 两端求积分，则得arcsinu＝lnχ＋C，即其通解为arcsin[*]＝lnχ＋C，其中C为任意常数．当χ＜0时，上面的方程变为[*]，其通解应为arcsin[*]＝－ln｜χ｜＋C，其中C为任意常数． 所得通解公式也可统一为y＝｜χ｜sin(ln｜χ｜＋C)．此处还需注意，在上面作除法过程中丢掉了两个特解u＝±1，即y＝±χ．
解析
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考研数学二

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