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(99年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2恒
(99年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2恒
admin
2018-07-27
27
问题
(99年)设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1.过曲线上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S
1
,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S
2
,并设2S
1
一S
2
恒为1,求此曲线y=y(x)的方程.
选项
答案
曲线y=y(x)上点P(x,y)处切线方程为 Y—y=y’(x)(X—x) 它与x轴的交点为[*].由于y’(x)>0,y(0)=1,从而y(x)>0,于是 [*] 又 S
2
=∫
0
x
y(t)dt 由条件2S
1
一S
2
=1知 [*] 两边对x求导并化简得 yy”=(y’)
2
令P=y’,则上述方程可化为[*] 从而 [*] 注意到y(0)=1,并由(*)式知y’(0)=1.从而可知C
1
=1,C
2
=0,故所求曲线的方程是y=e
x
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/ivWRFFFM
0
考研数学二
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