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证明:连续函数取绝对值后函数仍保持连续性,举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性.
证明:连续函数取绝对值后函数仍保持连续性,举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性.
admin
2015-06-30
55
问题
证明:连续函数取绝对值后函数仍保持连续性,举例说明可导函数取绝对值不一定保持可导性.
选项
答案
设f(x)在[a,b]上连续,令g(x)=|f(x)|, 对任意的x
0
∈[a,b],有 0≤|g(x)-g(x
0
)|=||f(x)|-|f(x
0
)||≤|f(x)-f(x
0
)|, 因为f(x)在[a,b]上连续,所以[*]=f(x
0
), 由夹逼定理得[*]|f(x)|=|f(x
0
)|, 即|f(x)|在x=x
0
处连续,由x
0
的任意性得|f(x)|在[a,b]上连续. 设f(x)=x,则f(x)在x=0处可导,但|f(x)|=|x|在x=0处不可导.
解析
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0
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