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  3. 已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。

已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。

admin2018-12-29  29
问题 已知二次曲面方程x2+ay2+z2+2bxy+2xz+2yz=4可以经过正交变换化为椭圆柱面方程η2+4ζ2=4，求a，b的值和正交矩阵P。
选项
答案根据题意，矩阵[*]是相似的，则tr(A)=tr(B)，从而2+a=5，a=3。又因为｜A｜=｜B｜，所以b=1。 此时，矩阵A=[*]，特征值为λ1=0，λ2=1，λ3=4。 由(λiE—A)x=0，可得属于特征值λ1=0，λ2=1，λ3=4的特征向量分别为 α1=(1，0，—1)T，α2=(1，—1，1)T，α3=(1，2，1)T。 将α1，α2，α3单位化，得到 [*] 令P=[*]，即P为所求的正交矩阵。
解析
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考研数学一

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