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  3. 设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，一1，a+2，1)T，η2=(一1，2，4，a+8)T． (1)求(I)的一个基础解系； (2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解

设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为 (Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，一1，a+2，1)T，η2=(一1，2，4，a+8)T． (1)求(I)的一个基础解系； (2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解

admin2020-03-05  38
问题 设(I)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组，(I)的系数矩阵为

(Ⅱ)的一个基础解系为η1=(2，一1，a+2，1)T，η2=(一1，2，4，a+8)T．
(1)求(I)的一个基础解系；
(2)a为什么值时(I)和(Ⅱ)有公共非零解?此时求出全部公共非零解．
选项
答案(1)把(I)的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵 [*] 得到(I)的同解方程组 [*] 对自由未知量x3，x4赋值，得(I)的基础解系γ1=(5，一3，1，0)T，γ3=(一3，2，0，1)T． (2)(Ⅱ)的通解为c1η1+c2η2=(2c1—c2，一c1+2c2，(a+2)c1+4c2，c1+(a+8)c2)T． 将它代入(I)，求出为使c1η1+c2η2也是(I)的解(从而是(I)和(Ⅱ)的公共解)，c1，c2应满足的条件(过程略)为： [*] 于是当a+1≠0时，必须c1=c2=0，即此时公共解只有零解． 当a+1=0时，对任何c1，c2，c1η1+c2η2都是公共解．从而(I)，(Ⅱ)有公共非零解．此时它们的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c1η1+c2η2，c1，c2不全为0．
解析
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考研数学一

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