设线性方程组(Ⅰ):有唯一的解ξ=(1,2,3)T,线性方程组(Ⅱ)有一个特解η=(﹣2,1,4,2)T,则方程组(Ⅱ)的通解为__________.

admin2020-06-05  28

问题 设线性方程组(Ⅰ):有唯一的解ξ=(1,2,3)T,线性方程组(Ⅱ)有一个特解η=(﹣2,1,4,2)T,则方程组(Ⅱ)的通解为__________.

选项

答案c(3,1,﹣1,2)T+(﹣2,1,4,2)T

解析 根据非齐次线性方程组解的判定定理可知,方程组(Ⅰ)的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩均等于3,于是方程组(Ⅱ)的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩也等于3,其对应的齐次线性方程组的基础解系仅包含一个解向量.根据已知条件η1=(1,2,3,0)T也是方程组(Ⅱ)的一个特解,因此由非齐次线性方程组解的结构定理可得其通解为
c(η1-η)+η=c(3,1,﹣1,2)T+(﹣2,1,4,2)T
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