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  3. 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明： 其中Er是r阶单位阵．

设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明： 其中Er是r阶单位阵．

admin2016-07-22  16
问题 设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)．证明：

其中Er是r阶单位阵．
选项
答案方法一 A2=A，A的特征值的取值为1，0，由A-A2-A(E-A)=O知 r(A)+r(E-A)≤n， r(A)+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n， 故r(A)+r(E-A)=n，r(A)=r，从而r(E-A)=n-r 对λ=1，(E-A)X=0，因r(E-A)=n-r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ1，ξ2，…，ξr； 对λ=0，(0E-A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n-r个线性无关特征向量，设为ξr+1，ξr+2，…，ξn． 故存在可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，使得P-1AP=[*] 方法二 r(A)=r，A有r个列向量线性无关，设为前r列，将A按列分块，有 A2=A[ξ1，ξ2，…，ξn]=[ξ1，ξ2，…，ξn]=A， 即Aξi=ξi，i=1，2，…，r，故λ=1至少是r重根，又r(A)=r，AX=0有n-r个线性无关解，设为ηr+1，ηr+2，…，ηn，即Aηj=0，j=r+1，…，n．故λ=0是A的特征值，ηj，j=r+1，…，n是对应的特征向量．令P=[ξ1，ξ2，…，ξr，ηr+1，…，ηn]，有P-1AP=[*]
解析
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考研数学一

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