设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式 [xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x2y]dy 为某二元函数u(x，y)的全微分．求f(x)；

admin2019-06-28 40

问题设f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，且表达式
[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x²y]dy
为某二元函数u(x，y)的全微分．
求f(x)；

选项

答案由题知，存在二元函数u(x，y)，使 du=[xy(1+y)一f(x)y]dx+[f(x)+x²y]dy，即 [*] 由于f(x)具有一阶连续导数，所以u的二阶混合偏导数连续，所以有 [*] 即有 x(1+2y)一f(x)=f’(x)+2xy， f’(x)+f(x)=x．又f(0)=0，可求得f(x)=x一1+e^-x．

解析

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