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A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A-aE)(A-bE)=0. (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价: (1)(A-aE)(A-bE)=0. (2)r(A-aE)+r(A-bE)=n. (3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
admin
2018-06-27
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问题
A是n阶矩阵,数a≠b.证明下面3个断言互相等价:
(1)(A-aE)(A-bE)=0.
(2)r(A-aE)+r(A-bE)=n.
(3)A相似于对角矩阵,并且特征值满足(λ-a)(λ-b)=0.
选项
答案
不妨设a和b都是A的特征值.(因为如果a不是A的特征值,则3个断言都推出A=bE.如果b不是A的特征值,则3个断言都推出A=aE.) (1)[*](2) 用关于矩阵的秩的性质,由(A-aE)(A-bE)=0.得到: r(A-aE)+r(A-bE)≤n, r(A-aE)+r(A-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n, 从而r(A-aE)+r(A-bE)=n. (2)[*](3) 记k
a
,k
b
分别是a,b的重数,则有 k
a
≥n-r(A-aE)① k
b
≥n-r(A-bE)② 两式相加得n≥k
a
+k
b
≥n-r(A-aE)+n-r(A-bE)=n,于是其中“≥”都为”=”,从而①和②都是等式,并且k
a
+k
b
=n. k
a
+k
b
=n,说明A的特征值只有a和b,它们都满足(λ-a)(λ-b)=0. ①和②都是等式,说明A相似于对角矩阵. (3)[*](1) A的特征值满足(λ-a)(λ-b)=0,说明A的特征值只有a和b.设B是和A相似的对角矩阵,则它的对角线上的元素都是a或b,于是(B-aE)(B-bE)=O.而(A-aE)(A-bE)相似于(B-aE)(B-bE),因此(A-aE)(A-bE)=0.
解析
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