设α1,α2……αn是n维向量组，证明α1,α2……αn线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．

admin2016-01-11 56

问题设α₁,α₂……α_n是n维向量组，证明α₁,α₂……α_n线性无关的充分必要条件是任何一个n维向量都可被它们线性表示．

选项

答案必要性：由于n维的向量组α₁,α₂……α_n线性无关，则对于任意一个n维向量β，则α₁,α₂……α_n，β必线性相关，从而存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_n，λ，使得k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n+λβ=0．若λ=0，则k₁α₁+k₂α₂+…+k_nα_n=0，由α₁，α₂，…，α_n线性无关得k₁=k₂=…=k_n=0，这与k₁，k₂，…，k_n，λ不全为零矛盾，从而λ≠0，于是[*] 充分性：由于任意一个n维向量都可由α₁,α₂……α_n线性表示，特别地取n维基本向量组e₁，e₂，…，e_n，则e₁，e₂，…，e_n能由α₁,α₂……α_n线性表示．即(e₁,e₂……e_n)=(α₁,α₂……α_n)K，其中K是n×n矩阵．两边取行列式．｜(α₁,α₂……α_n)｜｜K｜=｜e₁,e₂……e_n｜=1≠0，从而｜α₁,α₂……α_n｜≠0，从而α₁,α₂……α_n，线性无关．

解析本题考查向量组线性相关性的概念和线性表示的概念及向量组线性相关性的判定．要求考生掌握n个n维向量线性无关的充分必要条件是由它们排成的n阶行列式不为零．

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考研数学二

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设齐次线性方程组时XTAX的最大值．

设P为可逆矩阵，A=PTP．证明：A是正定矩阵．

设A为n阶正定矩阵．证明：对任意的可逆矩阵P，PTAP为正定矩阵．

方程的通解为___________．

设3阶实对称矩阵A满足A2=2A，已知二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy化为λy22+λy32(λ≠0)，其中Q=(b＞0，c＞0)．求一个可逆线性变换x=Pz化f为规范形．

设D4=，则代数余子式A13+A23+A43=________．

设函数f(x)是以T为周期的连续函数．(Ⅰ)证明：∫0x(t)dt可以表示成一个以T为周期的连续函数与kx之和，并求常数k；(Ⅱ)计算∫0xf(t)dt．

设f(x)在[0，t](t＞0)上有n阶导数且非负，已知f(0)=f’+(0)=f”+(0)=…=f+(n-2)(0)=0，f(n)(x)＞0．(I)求F(t)=∫0tsf(x)dx-t∫0tf(x)dx(n为大于1的正整数)的n阶导数；(Ⅱ)证明：(

设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx经正交变换x=Qy后的标准形为y12+y22-y32，则二次型g(x1，x2，x3)=xTAA*x经可逆线性变换x=Py后的规范形为()

曲线x2-xy+y2=3上的点到原点的最大距离为()

剁法是指用力于小臂，刀刃距料________以上垂直用力，迅速击断原料的方法。

监理工程师李某在对某工程施工的监理过程中，发现该工程设计存在瑕疵，则李某()。

企业计提坏账准备时，应借记(　　)。

对投保人因重大过失未履行如实告知义务的，对保险事故的发生有严重影响，保险人对于合同解除前发生的保险事故，不承担赔偿或给付保险金的责任，并不退还保费。()

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上指出，思想政治工作从根本上说是做人的工作，必须()不断提高学生思想水平、政治觉悟、道德品质、文化素养，让学生成为德才兼备、全面发展的人才。

简论南京国民政府民法典的制定结构及内容、特点。

由消灭封建剥削改为减弱封建剥削程度和减租减息为中心的土地立法原则确立于()。

Theministerdeliveredhisfarewelladdressinanappealingandhumorous______.

设f(x)在[0，π]上连续，证明∫0πxf(sinx)dx=πf(sinx)dx。

Oneofthemostfascinatingquestionsabouthumanbehavioriseachpersonisdifferentfromallothers.Theanswertothisquest

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