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设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且证明: 若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且证明: 若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。
admin
2018-12-27
27
问题
设函数f(x)在(-∞,+∞)内连续,且
证明:
若f(x)是单调减函数,则F(x)也是单调减函数。
选项
答案
方法一:欲证F(x)是单调减函数,则需证F’(x)<0或F’(x)≤0且等号仅在某些点成立。 由已知 [*] 则 [*] 因f(x)是单调减函数,t介于0与x之间,所以当x>0时f(x)-f(t)<0,故F’(x)<0;当x<0时,f(x)-f(t)>0,故F’(x)<0;当x=0时,F’(0)=0。 即x∈(-∞,+∞)时,F’(x)≤0且符号仅在x=0时成立,因此F(x)也是单调减函数。 方法二:由[*]则[*] 由积分中值定理知,存在一点ξ∈(0,x),使得[*]故 F’(x)=xf(x)-f(ξ)x=x[f(x) -f(ξ)]。 与方法一同样讨论可知F(x)是单调减函数。
解析
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考研数学一
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