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设二次型f(x1，x2，x3，x4)=x12+2x1x2－x22+4x2x3一x32—2ax3x4+(a一1)2x2的规范形式为y12+y22一y32，则参数a=_______．
设二次型f(x1，x2，x3，x4)=x12+2x1x2－x22+4x2x3一x32—2ax3x4+(a一1)2x2的规范形式为y12+y22一y32，则参数a=_______．
admin
2014-04-16
47
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)=x
1
2
+2x
1
x
2
－x
2
2
+4x
2
x
3
一x
3
2
—2ax
3
x
4
+(a一1)
2
x
2
的规范形式为y
1
2
+y
2
2
一y
3
2
，则参数a=_______．
选项
答案
[*]
解析
法一 由二次型的规范形知．其正惯性指数为2，负惯性指数为1．将二次型用配方法，有f(x
1
，x
2
，x
3
，x
4
)=x
1
2
+2x
1
x
2
一x
2
2
一4x
2
x
3
一x
3
2
一2ax
3
x
1
+(a一1)
2
x
1
2
=(x
1
+x
2
)
2
一2x
2
2
+4x
2
x
3
一x
3
2
一2ax
3
x
1
+(a一1)2x
1
2
=(x
1
+x
2
)
2
一2(x
2
一x
3
)
2
+x
3
2
一2ax
3
x
4
+(a一1)x
4
2
=(x
1
+x
2
)
2
一2(x
2
一x
3
)
2
+(x
3
一ax
4
)
2
一(2a一1)x
4
2
故f的正惯性指数为2，负惯性指数为1，应有
法二 f是四元二次型．由规范形知，其正惯性指为2．负惯性指数为1,且有一项为零.故知其有特征值λ=0，故该二次型的对应矩阵A有｜A｜=0因
故应有
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考研数学二
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