设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3,若a是使A正定的正整数,用正交变换把二次型f(x1,x2,x3)化为标准型,并写出所用正交变换。

admin2019-12-06  58

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2x12+2x22+2x32+2ax1x2+2ax2x3+2ax1x3,若a是使A正定的正整数,用正交变换把二次型f(x1,x2,x3)化为标准型,并写出所用正交变换。

选项

答案求二次型矩阵的特征值,有 [*] =(λ+a-2)2(λ-2a-2)=0, 得到A的特征值是λ1=λ2=2-a,λ3=2a+2,由于A正定,且a为正整数,故a=1。因此[*], 此时矩阵的特征值为λ1=λ2=1,λ3=4。 对于λ=1,由E-A=[*], 得到属于λ=1的特征向量为α1=(﹣1,1,0)T,α2=(﹣1,0,1)T。 对于λ=4,由4E-A=[*], 得到属于λ=4的特征向量为α3=(1,1,1)T。 对α1,α2正交规范化得β1=α1=[*], β2=[*], 故可得到 [*], 令Q=(γ1,γ2,γ3)=[*], 则在正交变换x=Qy,下有 xTAx=yTAy=y12+y22+4y32

解析
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