求证：当χ＞0时不等式(1＋χ)ln2(1＋χ)＜χ2成立．

admin2018-11-11 39

问题求证：当χ＞0时不等式(1＋χ)ln²(1＋χ)＜χ²成立．

选项

答案令f(χ)＝χ²－(1＋χ)ln²(1＋χ)，则有f(0)＝0， f′(χ)＝2χ－ln²(1＋χ)－2ln(1＋χ)，f′(0)＝0， f〞(χ)＝2－2[*][χ－ln(1＋χ)]，f〞(0)＝0， f″′(χ)＝[*]， f″′(0)＝0．于是f〞(χ)当χ≥0时单调增加，又f〞(0)＝0，所以当χ＞0时，f〞(χ)＞f〞(0)＝0．从而f′(χ)当χ≥0时单调增加，又f′(0)＝0，故当χ＞0时f′(χ)＞f′(0)＝0．因此f(χ)当χ≥0时单调增加，又f(0)＝0，所以当χ＞0时f(χ)＞f(0)＝0．原不等式得证．

解析

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考研数学二

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