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  3. 设f(x)是(一∞，+∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)=∫0xte－t2f(t)dt是(—∞，+∞)上的( )

设f(x)是(一∞，+∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)=∫0xte－t2f(t)dt是(—∞，+∞)上的( )

admin2020-06-11  30
问题 设f(x)是(一∞，+∞)上连续的偶函数，且｜f(x)｜≤m，则F(x)=∫0xte－t2f(t)dt是(—∞，+∞)上的(    )
选项 A、有界偶函数。
B、无界偶函数。
C、有界奇函数。
D、无界奇函数。
答案A
解析 首先讨论F(x)的奇偶性：
对任意的x∈(一∞，+∞)，有
F(一x)=∫0－xte－t2f(t)dt，
令t=一μ，则
F(一x)=∫0xμe－μ2f(－μ)dμ=∫0xμe－μ2f(μ)dμ=F(x)，
故F(x)是(一∞，+∞)上的偶函数。
其次讨论F(x)的有界性：
因F(x)是(一∞，+∞)的偶函数，可只讨论x≥0时，F(x)的有界性。由于
｜F(x)｜=｜∫0xte－t2f(t)dt｜≤∫0xte－t2｜f(t)｜dt≤m∫0＋∞te－t2dt=∫0＋∞e－t2d(t2)=，
所以F(x)是(一∞，+∞)上的有界函数。故选(A)。
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考研数学二

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