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  3. 设A，B为随机试验E的两个事件，且P(A)＞0，P(B)＞0，并定义 试证：若ρXY=0，则X与Y相互独立．

设A，B为随机试验E的两个事件，且P(A)＞0，P(B)＞0，并定义 试证：若ρXY=0，则X与Y相互独立．

admin2020-05-02  15
问题 设A，B为随机试验E的两个事件，且P(A)＞0，P(B)＞0，并定义

试证：若ρXY=0，则X与Y相互独立．
选项
答案由已知条件，可得 [*] 于是 E(X)=P(A)，E(XY)=P(AB)，E(Y)=P(B) 进而 Cov(X，Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=P(AB)-P(A)P(B) 又ρXY=0，由相关系数的公式[*]，得Cov(X，Y)=0，即P(AB)= P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立．进一步，可求得 [*] 故X与Y相互独立．
解析 由已知条件将Cov(X，Y)用事件A，B的概率表示，再根据ρXY=0推知事件A与B独立，进而证明随机变量X与Y相互独立．
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考研数学一

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