(2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

admin2019-08-01 43

问题 (2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中

(Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)aⁿ；
(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ₁；
(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

选项

答案(Ⅰ)记D_n＝｜A｜以下用数学归纳法证明D_n＝(n＋1)aⁿ．当n＝1时，D₁＝2a，结论成立；当n＝2时， D₁＝[*]＝3a²＝(n＋1)aⁿ 结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将D_n按第1行展开，得 [*] ＝2aD_n-1－a²D_n-2(代入归纳假设D_k＝(k＋1)a^k，k＜n) ＝2ana^n-1－a(n－1)a^n-2＝(n＋1)aⁿ 故｜A｜＝(n＋1)aⁿ． (Ⅱ)该方程组有唯一解[*]｜A｜≠0，即a≠0．此时，由克莱姆法则，将D_n第1列换成b，得行列式 [*] (Ⅲ)当a＝0时，方程组为 [*] 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为n－1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为 χ＝(0，1，0，…，0)^T＋k(1，0，0，…，0)^T 其中k为任意常数．

解析

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考研数学二

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(2008年)设n元线性方程组Aχ＝b，其中 (Ⅰ)证明行列式｜A｜＝(n＋1)an； (Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求χ1； (Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．

考研数学二

设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且f(x)=-1．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f’’(ξ)≥8．

计算∫1+∞

(Ⅰ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y’’；(Ⅱ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

函数f(x)=(x2-x-2)｜x2-x｜的不可导点有

积分∫aa+2πcosxln(2+cosx)dx的值

设3阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)，α2=(2，1，1)，α3=(-1，2，-3)*都是A属于λ=6的特征向量，求矩阵A．

设A为反对称矩阵，则(1)若k是A的特征值，-k一定也是A的特征值．(2)如果它的一个特征向量η的特征值不为0，则ηTη=0．(3)如果A为实反对称矩阵，则它的特征值或为0，或为纯虚数．

已知矩阵A=有两个线性无关的特征向量，则a=_____．

求常数a，使得向量组α1=(1，1，a)T，α2=(1，a，1)T，α3=(a，1，1)T可由向量组β1=(1，1，a)T，β2=(-2，a，4)T，β3=(-2，a，a)T线性表示，但是β1，β2，β3不可用α1，α2，α3线性表示．

函数f(x)=e—xsinx(x∈[0，+∞))的值域区间为________．

鲁迅著名的散文诗集是()。

Manistheonlyanimalthathasthe______ofspeech.

A．垂体ACTH微腺瘤B．小细胞肺癌C．肾上腺皮质腺瘤D．肾上腺皮质腺癌E．肾上腺皮质结节状增生引起异位ACTH综合征的原因是

婴儿，男，早产，生后体温较低，生后两个小时出现体温进行性降低，双小腿皮下组织，不能移动，随之臀部出现青紫色。该患儿开始热量每日需（）

沥青混合料标准马歇尔试件的高度要求为()。

日平均浓度计算首选(　　　)的气象条件。

组合砖墙砌体结构房屋应在何处设置现浇钢筋混凝土圈梁?()Ⅰ/在基础顶面Ⅱ/在所有楼层处Ⅲ/有组合墙的楼层处Ⅳ/无组合墙的楼层处

商业银行宏观审慎监管的核心是()。

执行力是政府的生命力，有人说执行力代表政府的战斗力。对此。你怎么看?

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