求常数a,使得向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但是β1,β2,β3不可用α1,α2,α3线性表示.

admin2018-06-27  33

问题 求常数a,使得向量组α1=(1,1,a)T,α2=(1,a,1)T,α3=(a,1,1)T可由向量组β1=(1,1,a)T,β2=(-2,a,4)T,β3=(-2,a,a)T线性表示,但是β1,β2,β3不可用α1,α2,α3线性表示.

选项

答案本题的要求用秩来表达就是r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)>r(α1,α2,α3). 方法一(计算秩) (α1,α2,α3|β1,β2,β3) [*] 当a≠1和-2时,r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=3,不符合要求. 当a=-2时,r(α1,α2,α3)=2,r(β1,β2,β3)=2,不符合要求. 当a=1时,r(α1,α2,α3)=1,r(β1,β2,β3)=3,必有r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=3,符合要求,得a=1. 方法二 由上面秩的关系式,得r(α1,α2,α3)<3,即α1,α2,α3线性相关,|α1,α2,α3|=0.求出|α1,α2,α3|=-(a-1)2(a+2),a=1或-2. a=1时,r(α1,α2,α3)=1,r(β1,β2,β3)=r(α1,α2,α3,β1,β2,β3)=3,适合要求. a=-2时,r(α1,α2,α3)=r(β1,β2,β3)=2,不合要求.

解析
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