具有特解y1=e一x，y2=2xe一x，y3=3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )

admin2019-03-14 34

问题具有特解y₁=e^一x，y₂=2xe^一x，y₃=3e^x的三阶线性常系数齐次微分方程是 ( )

选项 A、y"’一y"一y’+y=0
B、y"’+y"一y’一y=0
C、y"’一6y"+11y’一6y=0
D、y"’一2y"一y’+2y=0

答案B

解析根据题设条件，1，一1是特征方程的两个根，且一1是重根，所以特征方程为(λ一1)(λ+1)²=λ³+λ²一λ一1=0，故所求微分方程为y"’+y"一y’一y=0，故选(B)．
或使用待定系数法，具体为：
设所求的三阶线性常系数齐次微分方程是
y"’+ay"+by’+cy=0。
由于y₁=e^一x，y₂=2xe^一x，y₃=3e^x是上述方程的解，所以将它们代入方程后得

解得a=1，b=一1，c=一1．
故所求方程为y"’+y"一y’一y=0，即选项(B)正确．

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考研数学二

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在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1，0)，其上任意点P(x，y)(x≠0)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax(常数a＞0)。当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值。
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已知线性方程组问：a、b为何值时，方程组有解，并求出方程组的通解。
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