设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α2，Ak-1α≠0.证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的。

admin2017-01-13 39

问题设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A^kx=0有解向量α₂，A^k-1α≠0.证明：向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的。

选项

答案设有常数λ₀，λ₁，…，λ_k-1，使得λ₀α+λ₁Aα+…+λ_k-1A^k-1α=0，则有 A^k-1(λ₀α+α₁Aα+…+λ_k-1A^k-1α)=0，从而得到λ₀A^k-1α=0。由题设A^k-1α≠0，所以λ₀=0。类似地可以证明λ₁=λ₂=…=λ_k-1=0，因此向量组α，Aα，…，A^k-1α是线性无关的。

解析

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考研数学二

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求
设f(x)在区间[－a,a](a＞0)上具有二阶连续导数,f(0)=0.证明在[－a,a]上至少存在一点η，使得a3f"(η)=3∫-aaf(x)dx。
求曲线y=ex,y=sinx,x=0和x=1所围成的图形绕x轴旋转所成立体的体积。
计算二重积分,其中D={(x,y)|(x－1)2+(y－1)2≤2，y≥x}.
设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+βy=γex的一个特解为y=e2x+(1+x)ex,试确定常数α，β，γ,并求该方程的通解。
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设n阶矩阵A非奇异(n≥2)，A*是A的伴随矩阵，则
设A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且求矩阵A．

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