(2001年试题,七)设函数f(x),g(x)满足f’(x)=g(x),g’(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求

admin2019-08-01  39

问题 (2001年试题,七)设函数f(x),g(x)满足f(x)=g(x),g(x)=2ex一f(x),且f(0)=0,g(0)=2,求

选项

答案由题设已知[*]此为关于f(x),g(x)的一阶常系数线性方程组,由式(1)两边对x求导,得f’’(x)=g(x),将其代入式(2)中,得:f(x)+f(x)=2ex此为关于f(x)的二阶常系数线性非齐次方程,先求其齐次方程的通解,由特征方程λ2+1=0,可求得特征值为λ1=i,λ2=一i,因此齐次方程通解为y=C1cosx+C2sinx,设原方程特解为y*=Aex,代入原方程得A=1,从而y*=ex,所以原方程有通解y=C1cosx+C2sinx+ex又由初始条件f(0)=0及f(0)=g(0)=2,可求出C1=一1,C2=1,所以f(x)=一cosx+sinx+ex,g(x)=cosx+sinx+ex下面求定积分[*]

解析 上面计算定积分的过程中,也可先对后一部分进行分部积分,但与上面解法一样,无需将f(x)与g(x)的表达式代入被积函数.
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