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设幂级数的系数{an}满足an=2,nan-1=n一1,n=1,2,3,….求此幂级数的和函数S(x),其中x∈(一1,1).
设幂级数的系数{an}满足an=2,nan-1=n一1,n=1,2,3,….求此幂级数的和函数S(x),其中x∈(一1,1).
admin
2022-04-10
53
问题
设幂级数
的系数{a
n
}满足a
n
=2,na
n-1
=n一1,n=1,2,3,….求此幂级数的和函数S(x),其中x∈(一1,1).
选项
答案
求解本题的关键是确定幂级数[*]的系数a
n
(n=0,1,2,…).为此在系数的递推公式na
n
=a
n-1
+n一1中依次令n=1,2,3即得a
1
=a
n
=2,[*]由此可猜想.[*]都成立.用数学归纳法只需证明若[*]成立,则[*]也成立即可.事实上,由(n+1)a
n+1
=a
n
+n可得[*]即系数{a
n
}的递推公式埘任何n≥2成立.从而幂级数[*]即和函数[*]
解析
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考研数学三
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