2. 考研
  3. 设A是n阶实对称矩阵，证明： (1)存在实数c，使对一切X∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

设A是n阶实对称矩阵，证明： (1)存在实数c，使对一切X∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ． (2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．

admin2019-08-06  35
问题 设A是n阶实对称矩阵，证明：
    (1)存在实数c，使对一切X∈Rn，有｜χTAχ｜≤cχTχ．
    (2)必可找到一个数a，使A＋aE为对称正定矩阵．
选项
答案(1)设A的特征值为λ1，λ2，…，λn． 令c＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜)，则有正交变换χ＝Py， 使χTAχ＝[*]λiyi2，且yTy＝χTχ， 故｜χTAχ｜＝[*]＝cyTy＝cχTχ (2)因为(A＋aE)T＝A＋aE，所以A＋aE对称．又若A的特征值为λ1，…，λn则A＋aE的全部特征值为λ1＋a，…，λn＋a，若取a＝max{｜λ1｜＋1，…，｜λn｜＋1}，则λi＋a≥λi＋｜λi｜＋1≥1，所以A＋aE正定．
解析
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考研数学三

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